Konveks minimizasyon problemini çözen bir gradient projeksiyon algoritmasının üstünleştirilmesi ve pertürbasyon dirençliliği

Abstract

Son zamanlarda, konveks optimizasyon probleminin çözümünde kullanılan algoritmalarda bozulmalara müsaade ederek algoritmanın etkinliğini artırmak, hesaplama yönünden daha az zahmetli hale getirmek ve amaçlanan uygulama için ele alınan algoritmadan daha yararlı sonuçlar elde etmek amacıyla üstünleştirme adında yeni bir yöntem çalışılmaktadır. Bu tezde amacımız, [1]’de Ertürk ve arkadaşları tarafından, konveks minimizasyon probleminin çözümü için önerilen gradient projeksiyon algoritmasının üstünleştirmesini ve pertürbasyon dirençliliğini çalışmaktır. Tezimizde, Ertürk ve ark. tarafından önerilen gradient projeksiyon algoritmasının üstünleştirilmiş versiyonunun bozulmalara karşı dirençli olduğunu, dolayısıyla orijinal algoritma gibi minimizasyon probleminin bir çözümüne zayıf yakınsadığını gösterdik. Elde ettiğimiz sonucu, sonsuz boyutlu Hilbert uzayında bir örnek ile somutlaştırdık. Ayrıca gösterdiğimiz sonucun doğrusal ters problemler ve split fizibilite problemleri için uygulamalarını verdik.

Recently, a new method called superiorization has been studied in order to increase the efficiency of the algorithm, to make it less computationally demanding and to obtain more useful results than the algorithm considered for the intended application by allowing perturbations in the algorithms used in the solution of the convex optimization problem. In this thesis, our aim is to study the superiorization and perturbation resilience of the gradient projection algorithm proposed by Ertürk et al. in [1] for the solution of the convex minimization problem. In our thesis, we showed that the superiposed version of this gradient projection algorithm, which studied Erturk et al., is resistant to perturbations, thus it weakly converges to a solution of the minimization problem such as the original algorithm. We concretized our result by an example in the infinite dimensional Hilbert space. We also gave the applications of our theorem for linear inverse problems and split feasibility problems.