Konveks optimizasyonda sabit nokta algoritmaları

Abstract

Bu tezin amacı konveks minimizasyon probleminin çözümüne yeni bir gradient projeksiyon algoritması ile yaklaşmaktır. Bu amaç için Xu‟nun [1] konveks minimizasyon probleminin çözümü için alternatif bir yöntem olarak kullandığı ortalı dönüşüm yaklaşımı kullanılmıştır. Tezde önerilen yeni gradient projeksiyon algoritması Noor iterasyon yöntemini [2] baz almaktadır. Bu tezin birinci bölümünde tezde ele alınan konu genel hatlarıyla tanıtılmıştır. İkinci bölümde tezin konusu ile ilgili kısa bir literatür özeti verilmiştir. Üçüncü bölümde tezi anlaşılır kılmak için bazı temel kavramlar verilmiştir. Dördüncü bölümde tezin amacını gerçekleştirmemize olanak sağlayan materyal ve yöntemler ile uygun şartları sağlayan gradient projeksiyon algoritmasının konveks minimizasyon probleminin bir çözümüne zayıf yakınsadığını göstermek için Xu‟nun kullandığı ortalı dönüşümler yaklaşımı anlatılmıştır. Beşinci bölümde ise konveks minimizasyon probleminin çözümüne önerdiğimiz yeni projeksiyon algoritmasının zayıf yakınsaklığı gösterilmiştir. Ayrıca ispatladığımız sonucu desteklemek için sonsuz boyutlu bir Hilbert uzayında bir örnek verilmiştir. Son olarak, tezin altıncı bölümünde, tezin sonuçları tartışılmış ve bazı önerilerde bulunulmuştur.

The aim of this thesis is to approach to a solution of convex minimization problem with a new gradient projection algorithm. For this purpose, averaged mapping approach which was proposed by Xu [1] as an alternative to solve the convex minimization problem has been used. The new gradient projection algorithm proposed in this thesis is based on Noor iteration method [2]. In the first part of this thesis, the subject handled in the thesis has been introduced in general terms. In the second part, a brief literature summary of the topic of the thesis has been given. In the third part, some basic concepts have been given to make the thesis understandable. In the fourth section, materials and methods that enable us to realize the purpose of the thesis and Xu‟s an averaged mapping approach to show weakly convergence to a solution of the convex minimization problem have been explained. In the fifth chapter, it has been shown that the new projection algorithm we propose is weakly convergent to solution of the convex minimization problem. Also, it has been given an example in infinite dimensional Hilbert space to support the result that we proved it. Finally, in the sixth chapter of the thesis, the results of the thesis have been discussed and some suggestions have been made.